Переход к уравнению следствию. Старт в науке. III. Практикум по решению уравнений

Школьная лекция

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие »

Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

Конспект урока

Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

знает

Определение равносильных уравнений,

Определения уравнения-следствия,

Формулировки основных теорем;

умеет

Из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

Применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

понимает

Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

Что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

Что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

Тип урока. Школьная лекция (2 часа).

Структура урока.

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

Актуализация знаний,

Мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

Решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

Подведение итогов урока,

Выдача домашнего задания.

Ход урока

I . Мотивационно-ориентировочная часть.

Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).

Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

5)

6)
.

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению
и т.д. к
. Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения
. Проверьте, являются ли числа они и числа
и
корнями исходного уравнения .

(Числа , и являются корнями исходного уравнения, а
- нет).

Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней
и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

(Сделать проверку).

Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).

Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

II . Операционно-познавательная часть.

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения - проставляет числа).

Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

(Уравнения , ,,
и ,).

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

Запишем определение.

Определение 1. Уравнения
и
называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «
». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).

Менялись ли при этом их корни?

На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?

(Корень уравнения является корнем уравнения ).

То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).

Определение 2 . Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

- В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?

(Да, например, уравнение - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).

А какие это уравнения?

(Равносильные).

Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?

(Да, уравнение - следствие уравнения ).

Что происходит с корнями при переходе от к ?

(Потеряны два корня).

В результате какого преобразования это произошло?

(Ошибка в применении тождества
).

Применяя новое понятие уравнения-следствия, и используя символ «
», процесс решения уравнения будет выглядеть так:

.

Итак, полученная схема демонстрирует нам, что если осуществляются равносильные переходы , , то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: и . В первом случае уравнение - следствие уравнения , множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: , а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)
б)

Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

(Да, и равносильны).

(Использовали тождество ).

То есть выражение в одной части уравнения заменили тождественно равным ему выражением. Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

(Нет, уравнение - следствие уравнения ).

В результате какого преобразования из получили ?

(Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением).

Что произошло с ОДЗ уравнения?

(ОДЗ расширилась).

В результате расширения ОДЗ получили уравнение-следствие и посторонний корень
для уравнения . Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б) сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

(Пусть в некотором уравнении
, выражение
заменили на тождественное ему выражение
. Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению
. Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения ).

Это утверждение является теоремой о преобразованиях приводящих к равносильным уравнениям или уравнениям-следствиям.

Теорема 1. ,
а) ОДЗ не изменяется	б) ОДЗ расширяется

Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены три уравнения и их корни.

Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из предложенных уравнений равносильны?

(Только уравнения и ).

Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?

(К обеим частям уравнения в первом случае прибавили
, во втором случае прибавили
).

То есть в каждом случае прибавили некоторую функцию
. Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

(Функция
определена на ОДЗ уравнения ).

Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?

(Получим уравнение равносильное ).

Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?

(Она сузилась из-за функции
).

Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или - уравнение-следствие для уравнения ?

(Нет, не то и ни другое).

Рассмотрев два случая преобразования уравнения , которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.

(Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

Действительно, это утверждение является теоремой.

Теорема 2. , - определена	на ОДЗ уравнения

Но утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении уравнений. Как оно звучит?

(К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число).

Это свойство является частным случаем теоремы 2, когда
.

Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

(Уравнения и ).

В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?

(Обе части уравнения умножили на
и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения умножили на
).

Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

(Функция должна быть определена на всей ОДЗ уравнения ).

Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

(Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля).

Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.

(Функция не должна обращаться в ноль ни при одном из ОДЗ уравнения).

Итак, запишем в символическом виде утверждение, которое позволяет от данного уравнения перейти к равносильному. (Учитель под диктовку учеников записывает теорему 3).

Теорема 3. - определена на всей ОДЗ для любого из ОДЗ

Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?

(Надо показать, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть следствие первого и первое уравнение является следствием второго).

Докажем, что является следствием уравнения . Пусть - корень уравнения , что это значит?

(При подстановке в получим верное числовое равенство
).

В точке функция определена и не обращается в ноль. Что это означает?

(Число
. Поэтому числовое равенство можно помножить на
. Получим верное числовое равенство ).

Что это равенство означает?

( - корень уравнения . Этим показали, что уравнение - уравнение-следствие для уравнения ).

Докажем, что - следствие уравнения . (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения, учитель записывает вторую часть доказательства на доске).

Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)
б)

Равносильны ли уравнения и ?

(Равносильны).

В результате какого преобразования из можно получить ?

(Возводим обе части уравнения в куб).

От правой и левой частей уравнения можно взять функцию
. На каком множестве определена функция
?

(На общей части множеств значений функций
и
).

Охарактеризуйте группу уравнений под буквой б)?

(Они не равносильны, является следствием , к уравнению применили функцию
и перешли к уравнению , функция определена на общей части множеств значений функций
и
).

Чем же отличаются свойства функций в группе а) и б)?

(В первом случае функция монотонна, а во втором нет).

Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся записывает теорему).

Теорема 4. - определена на общей части множеств значений функций и
а) - монотонна	б) - не монотонна

Обсудим, как будет «работать» эта теорема при решении следующих уравнений.

Пример. Решить уравнение

1)
; 2)
.

Какую функцию применим к обеим частям уравнения 1)?

(Возведем обе части уравнения в куб, т.е. применим функцию ).

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она монотонна).

Значит, возведя обе части исходного уравнения в куб, какое уравнение получим?

(Равносильное данному).

Какую функцию применим к обеим частям уравнения 2)?

(Возведем обе части уравнения в четвертую степень, т.е. применим функцию
).

Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она не монотонна).

Какое же уравнение, относительно исходного, мы получим, возведя данное уравнение в четвертую степень?

(Уравнение-следствие).

Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Могут появиться посторонние корни. Значит, необходима проверка).

Проведите решение этих уравнений дома.

III . Рефлексивно-оценочная часть.

Мы сегодня вместе «открыли» четыре теоремы. Еще раз просмотрите их и скажите, о каких уравнениях в них говорится.

(О равносильных уравнениях и уравнении-следствии).

Запишем тему урока. Вернемся к уравнению, которое рассматривали в начале сегодняшнего разговора. Какие из теорем 1-4 применялись при переходе от одного уравнения к другому? (Ученики вместе с учителем выясняют, какая теорема работала на каждом шаге, учитель на схеме отмечает номер теоремы).

T.2 Т.2 Т.1 Т.4 Т.2 Т.4

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятия равносильных уравнений, уравнения-следствия, теоремы о равносильности уравнений).

Какую задачу мы поставили в начале урока?

(Выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере корней).

Решили ли мы ее полностью?

Поставленную задачу, мы решили частично, ее исследование продолжим на следующих уроках при решении новых видов уравнений.

Используя новое для нас понятие равносильных уравнений, переформулируйте первую часть поставленной задачи «выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения».

(Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием).

Что поможет ответить на этот вопрос?

(Теоремы о равносильности уравнений).

А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению посторонних корней?

(Применяли, это возведение обеих частей уравнения в квадрат; использование формул, левая и правая части которых имеют смысл при разных значениях входящих в них букв).

Существуют и другие «специфические» причины, которые приводят как к появлению, так и к потере корней уравнения, о некоторых из них мы говорили. Но есть и такие, которые, как правило, связаны с определенным классом уравнений, а об этом разговор у нас будет позже.

Запишем домашнее задание:

знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;

знать формулировки теорем 1-4;

провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются ли уравнения равносильными; решить уравнения ; .

Записи в тетрадях

Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения . заменили на тождественное ему выражение.

Пример. Решить уравнение

Данную презентацию можно использовать при проведении урока алгебры и начала анализа в 11 классе при изучении темы "Уравнения - следствия" по УМК авторов С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин

Просмотр содержимого документа
«Уравнения следствия. Другие преобразования, приводящие к уравнению следствию»

УРАВНЕНИЯ - СЛЕДСТВИЯ

УСТНАЯ РАБОТА

• Какие уравнения называют уравнениями-следствиями?
• Что называют переходом к уравнению-следствию
• Какие преобразования приводят к уравнению-следствию?

УСТНАЯ РАБОТА

• √ х= 6
• √ х-2 = 3
• 3 √х= 4;
• √ х 2 =9
• √ х+4=-2
• √ х+1+√х+2=-2

Решений нет

Решений нет

УСТНАЯ РАБОТА

Решений нет

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию

Преобразование

Влияние на корни уравнения

Возведение уравнения в ЧЕТНУЮ степень

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Потенцирование логарифмических уравнений, т.е. замена:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g (x)

Может привести к появлению посторонних корней

Освобождение уравнения от знаменателей:

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел x i , для которых или

Замена разности f(x)-f(x) нулем, т.е. приведение подобных членов

Может привести к появлению посторонних корней, т.е. тех чисел, для каждого из которых функция f(x) не определена.

Если при решении данного уравнения совершен переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения –следствия являются корнями исходного уравнения.

Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

№ 8.2 2 (а) Решите уравнение :

2) № 8.23(а)

№ 8.24 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.25 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.28 (а,в) Решите уравнение :

№ 8.29 (а,в) Решите уравнение :

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Выполнить № 8.24 (б,г), стр. 236
• № 8.25(б,г)
• 8.28 (б,г)
• 8.29 (б,г)

Разработка урока алгебры в 11 профильном классе

Урок проводила учитель математики МБОУ СОШ № 6 Тупицына О.В.

Тема и номер урока в теме: «Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию», урок № 7, 8 в теме: «Уравнение – следствие»

Учебный предмет: Алгебра и начала математического анализа– 11 класс (профильное обучение по учебнику С.М.Никольского)

Вид урока: «систематизация и обобщения знаний и умений»

Тип урока: практикум

Роль учителя: направить познавательную активность учащихся на выработку умений самостоятельно применять знания в комплексе для выбора нужного способа или способов преобразования, приводящие к уравнению – следствию и применение способа в решении уравнения, в новых условиях.

Необходимое техническое оборудование: мультимедиа оборудование, веб-камера.

На уроке использовались :

1. дидактическая модель обучения – создание проблемной ситуации,
2. педагогические средства – листы с указанием учебных модулей, подборка заданий для решения уравнений,
3. вид деятельности учащихся – групповая (группы формируются на уроках – «открытия» новых знаний, уроки № 1и 2 из учащихся с разной степенью обученности и обучаемости), совместное или индивидуальное решение задач,
4. личностно – ориентированные образовательные технологии : модульное обучение, проблемное обучение, поисковый и исследовательский методы, коллективный диалог, деятельностный метод, работа с учебником и различными источниками,
5. здоровьесберегающие технологии - для снятия напряжения проводится физкультминутка,
6. компетенции:

- учебно – познавательная на базовом уровне - учащиеся знают понятие уравнения – следствия, корня уравнения и способы преобразования, приводящие к уравнению - следствию, умеют находить корни уравнений и выполнять их проверку на продуктивном уровне;

- на продвинутом уровне – учащиеся могут решать уравнения с помощью известных способов преобразований проверять корни уравнений, используя область допустимых значений уравнений; вычислять логарифмы с помощью свойств на основе исследования; информационная – учащиеся самостоятельно ищут, извлекают и отбирают необходимую для решения учебных задач информацию в источниках различного типа.

Дидактическая цель:

создание условий для :

Формирование представления об уравнениях – следствиях, корнях и способах преобразований;

Формирования опыта смыслотворчества на основе логического следствия из ранее изученных способов преобразования уравнений: возведения уравнения в чётную степень, потенцирование логарифмических уравнений, освобождение уравнения от знаменателей, приведение подобных членов;

Закрепление умений по определению выбора способа преобразования, дальнейшему решению уравнения и выбору корней уравнения;

Овладение навыками постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирование запросов на выяснение того, что еще не известно;

Формирование познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности учащихся, проектных умений, умений излагать свои мысли;

Формирование чувства толерантности, взаимовыручки при работе в группе;

Пробуждения интереса к самостоятельному решению уравнений;

Задачи:

Организовать повторение и систематизацию знаний о способах преобразования уравнений;

- обеспечить овладение методами решения уравнений и проверки их корней;

- способствовать развитию аналитического и критического мышления учащихся; сравнивать и выбирать оптимальные методы решения уравнений;

- создать условия для развития исследовательских навыков, умений работы в группе;

Мотивировать учащихся на применение изученного материала для подготовки к ЕГЭ;

Проанализировать и оценить свою работу и работу своих товарищей по выполнению данной работы.

Планируемые результаты:

*личностные:

Навыки постановки задачи на основе известной и усвоенной информации, формирования запросов на выяснение того, что еще не известно;

Умение выбирать источники информации, необходимые для решения задачи; развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

Развитие логического мышления, творческой активности, умений излагать свои мысли, умение выстраивать аргументацию;

Самооценка результатов деятельности;

Умение работать в команде;

*метапредметные:

Умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогию, применять индуктивные способы рассуждений, выдвигать гипотезы при решении уравнений,

Способность к интерпретации и применению полученных знаний при подготовке к ЕГЭ;

*предметные:

Знания о способах преобразования уравнений,

Умение устанавливать закономерность, связанную с различными видами уравнений и использовать её при решении и отборе корней,

Интегрирующие цели урока:

1. (для учителя) Формирование у учащихся целостного представления о способах преобразования уравнений и методах их решений;
2. (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации, связанные с видами уравнений, содержащими различные функции. Подготовка к ЕГЭ.

І этап урока:

Актуализация знаний для повышения мотивации в области применения различных способов преобразований уравнений (входная диагностика)

Этап актуализации знаний проводится в виде проверочной работы с самопроверкой. Предлагаются задания развивающего характера, опирающиеся на знания приобретённые на прошлых уроках, требующие от учащихся активной мыслительной деятельности и необходимые для выполнения задания на данном уроке.

Проверочная работа

1. Выберите уравнения, требующие ограничения неизвестных на множестве всех действительных чисел:

а) = Х-2; б)3 = Х-2; в) =1;

г) ( = (; д) = ; е) +6 =5 ;

ж) = ; з) = .

(2) Укажите область допустимых значений каждого уравнения, где имеются ограничения.

(3) Выберите пример такого уравнения, где при преобразовании может произойти потеря корня (используйте материалы прошлых уроков по данной теме).

Ответы каждый сверяет самостоятельно по готовым, высвеченным на экране. Разбираются наиболее сложные задания и обращается особое внимание учащихся на примеры а, в, ж, з, где ограничения существуют.

Делаются выводы о том, что при решении уравнений, необходимо проводить определение области допустимых уравнением значений или делать проверку корней, чтобы избежать посторонних значений. Повторяются ранее изученные способы преобразования уравнений, приводящих к уравнению – следствию. То есть ученики тем самым смотивированны для поиска верно выбранного способа решения уравнения, предложенного им в дальнейшей работе.

ІІ этап урока:

Практическое применение своих знаний, умений и навыков при решении уравнений.

Группам раздаются листы с модулем, составленным по вопросам данной темы. В модуль входят пять учебных элементов, каждый из которых нацелен на выполнение определённых задач. Учащиеся, имеющие разные степени обученности и обучаемости самостоятельно определяют объём своей деятельности на уроке, но так как все работают в группах, происходит непрерывный процесс корректировки знаний и умений, подтягивание отстающих до обязательного, других до продвинутого и творческого уровней.

В середине урока проводится обязательная физминутка.

№ учебного элемента	Учебный элемент с указанием заданий	Руководство по освоению учебным материалом
УЭ-1	Цель: Определить и обосновать основные методы решения уравнений, основываясь на свойствах функций. Задание: Укажите способ преобразования для решения следующих уравнений: А) )= -8); б) = в) ( = ( г) ctg +х 2 -2х = ctg +24; д) = ; е) = sin x. 2) Задание: Решите не менее двух уравнений из предложенных. Опишите, какие способы применялись в решённых уравнениях.	П. 7.3 стр.212 П.7.4 стр.214 П. 7.5 стр.217 П.7.2 стр. 210
УЭ-2	Цель: Овладеть рациональными приёмами и методами решения Задание: Приведите примеры из указанных выше или самостоятельно подобранных (используйте материалы прошлых уроков) уравнений, при решении которых можно использовать рациональные приёмы решения, в чём они заключаются? (акцент на способ проверки корней уравнения)
УЭ-3	Цель: Использование полученных знаний при решении уравнений высокого уровня сложности Задание: = ( или ( = (	П.7.5
УЭ-4	Установите уровень освоения темы: низкий – решение не более 2-х уравнений; Средний – решение не более 4-х уравнений; высокий – решение не более 5-ти уравнений
УЭ-5	Выходной контроль: Составить таблицу, в которую представить все используемые вами способы преобразования уравнений и на каждый способ записать примеры, решённых вами уравнений, начиная с 1 урока темы: «Уравнения – следствия»	Конспекты в тетрадях

ІІІ этап урока:

Выходная диагностическая работа, представляющая рефлексию учащихся, которая покажет готовность не только к написанию контрольной работы, но и готовность к ЕГЭ по данному разделу.

По итогу урока все без исключения учащиеся оценивают себя сами, затем идёт учительская оценка. Если возникают несогласия между учителем и учеником, то учитель может предложить выполнение дополнительного задания ученику, чтобы объективно суметь оценить его. Домашнее задание нацелено на повторение материала перед контрольной работой.

Школьная лекция

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие »

Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

Конспект урока

Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).

Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

знает

Определение равносильных уравнений,

Определения уравнения-следствия,

Формулировки основных теорем;

умеет

Из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

Применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

понимает

Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

Что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

Что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

Тип урока. Школьная лекция (2 часа).

Структура урока.

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

Актуализация знаний,

Мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

Решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

Подведение итогов урока,

Выдача домашнего задания.

Ход урока

I . Мотивационно-ориентировочная часть.

Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).

Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

6)
.

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению
и т.д. к
. Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения
. Проверьте, являются ли числа они и числа и
корнями исходного уравнения .

(Числа , и являются корнями исходного уравнения, а - нет).

Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней
и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

(Сделать проверку).

Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).

Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

II . Операционно-познавательная часть.

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения - проставляет числа).

Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

(Уравнения , ,,
и ,).

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

Запишем определение.

Определение 1. Уравнения
и
называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).

Менялись ли при этом их корни?

На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?

(Корень уравнения является корнем уравнения ).

То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).

Определение 2 . Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

- В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?

(Да, например, уравнение - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).

А какие это уравнения?

(Равносильные).

Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?

(Да, уравнение - следствие уравнения ).

Что происходит с корнями при переходе от к ?

(Потеряны два корня).

В результате какого преобразования это произошло?

(Ошибка в применении тождества
)..

Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)
б)

Для изучения сегодняшней темы нам необходимо повторить, какое уравнение называется уравнением-следствием, какие теоремы «беспокойные» и из каких этапов состоит решение любого уравнения.

Определение. Если каждый корень уравнения эф от икс равно же от икс (обозначим его цифрой один) является в то же время корнем уравнения пэ от икс, равное аш от икс (обозначим его цифрой два), то уравнение два называют следствием уравнения один.

Теорема четвертая. Если обе части уравнения эф от икс равно же от иксумножить на одно и то же выражение аш от икс, которое:

Во- первых, имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения эф от икс, равное же от икс.

Во-вторых, нигде в этой области не обращается в нуль, то получится уравнение эф от икс, умноженное на аш от икс равно же от икс, умноженное на аш от икс, равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема пятая . Если обе части уравнения

эф от икс равно же от икснеотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение эф от икс в энной степени равно же от иксв энной степени равносильное данному уравнению в его о дэ зэ.

Теорема шестая . Пусть а больше нуля, а не равное единице, и эф от икс больше нуля,

жэ от икс больше нуля,тологарифмическое уравнение логарифм эф от икс по основанию а, равное логарифму жэ от икс по основанию а,

равносильно уравнению эф от икс равно же от икс.

Как мы уже говорили, решение любых уравнений происходит в три этапа:

Первый этап — технический. С помощью цепочки преобразований от исходного уравнения мы приходим к достаточно простому уравнению, которое решаем и находим корни.

Второй этап — анализ решения. Анализируем преобразования, которые выполнили, и выясняем, равносильны ли они.

Третий этап — проверка. Проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение обязательна при выполнении преобразований, которые могут привести к уравнению-следствию.

На этом уроке мы выясним, при применении каких преобразований данное уравнение переходит в уравнение-следствие? Рассмотрим следующие задания.

Задание 1

Какое уравнение является следствием уравнения икс минус три равно двум?

Решение

Уравнение икс минус три равно двум имеет единственный корень — икс равно пяти. Умножим обе части этого уравнения на выражение икс минус шесть, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно пяти; икс второе равно шести. Оно уже содержит два корня. Уравнение икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать равно нулю содержит единственный корень — икс равно пяти; уравнения икс минус три равно двум, поэтому икс квадрат минус одиннадцать икс плюс тридцать является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 2

Какое еще уравнение является следствием уравнения х-3=2?

Решение

В уравнении икс минус три равно двум возведем в квадрат его обе части, применим формулу квадрата разности, приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю.

Вычислим его корни: икс первое равно пяти, икс второе равно единице.

Корень икс равно единице является посторонним для уравнения икс минус три равно двум. Это получилось потому, что обе части исходного уравнения возвели в квадрат (четная степень). Но при этом его левая часть — икс минус три — может быть отрицательной (нарушены условия теоремы пять ). Значит, уравнение икс квадрат минус шесть икс плюс пять равно нулю является следствием уравнения икс минус три равно двум.

Задание 3

Найти уравнение-следствие для уравнения

логарифм выражения икс плюс один по основанию три плюс логарифм выражения икс плюс три по основанию три равно единице.

Решение

Представим единицу как логарифм трех по основанию три, потенцируем логарифмическое уравнение, выполним умножение, приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю. Вычислим его корни: икс первое равно нулю, икс второе равно минус четырем. Корень икс равно минус четырем является посторонним для логарифмического уравнения, так как при подстановке его в логарифмическое уравнение выражения икс плюс один и икс плюс три принимают отрицательные значения — нарушены условия теоремы шесть .

Значит, уравнение икс квадрат плюс четыре икс равно нулю является следствием данного уравнения.

На основании решения этих примеров, мы можем сделать вывод : уравнение-следствие получается из данного уравнения путем расширения области определения уравнения. А это возможно при выполнении таких преобразований, как

1)избавление от знаменателей, содержащих переменную величину;

2)возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3)освобождение от знаков логарифмов.

Запомните!Если в процессе решения уравнения произошло расширение области определения уравнения, то обязательна проверка всех найденных корней.

Задание 4

Решить уравнение икс минус три, деленное на икс минус пять, плюс один, деленное на икс, равно икс плюс пять, деленное на икс, умноженное на икс минус пять.

Решение

Первый этап - технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на выражение икс умноженное на иксминус пять.

Получим квадратное уравнение икс квадрат минус три икс минус десять равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно пяти, икс второе равно минус двум.

Второй этап- анализ решения.

При решении уравнения, мы его обе части умножили на выражение, содержащее переменную. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

При икс равном минусдваобщийзнаменатель не обращается в нуль. Значит, икс равно минусдваявляется корнем данного уравнения.

При икс равном пяти общий знаменатель обращается в нуль. Поэтому икс равно пяти - посторонний корень.

Ответ: минус два.

Задание 5

Решить уравнение квадратный корень из икс минус шесть равно квадратному корню из четырех минус икс.

Решение

Первый этап — технический.

Для того чтобы получить простое уравнение и решить его, выполним цепочку преобразований.

Возведем в квадрат (четная степень) обе части этого уравнения, перенесем иксы в левую часть, а числа в правую часть уравнения, приведем подобные слагаемые, получим: два икс равно десяти. Икс равен пяти.

Второй этап- анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

При решении уравнения, мы его обе части возвели в квадрат. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен пяти, выражение квадратный корень из четырех минус икс не определено, поэтому икс, равный пяти - посторонний корень. Значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Задание 6

Решить уравнение натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь равно натуральному логарифму выражения икс минус один.

Решение

Первый этап — технический.

Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое уравнение и решим его. Для этого потенцируем

уравнение, перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, приведем подобные члены, получим квадратное уравнение икс квадрат плюс икс минус шесть равно нулю. Вычислим корни: икс первое равно двум, икс второе равно минус трем.

Второй этап - анализ решения.

Проверим выполненные преобразования на равносильность.

В процессе решения данного уравнения мы освободились от знаков логарифмов. Значит, область определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.

Третий этап - проверка.

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Если икс равен двум, то получаем натуральный логарифм единицы равен натуральному логарифму единицы —

верное равенство.

Значит, икс равный двум - корень данного уравнения.

Если икс равен минус трем, то натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс два икс минус семь и натуральный логарифм выражения икс минус один не определены. Значит, икс равный минус трем — посторонний корень.

Ответ: два.

Всегда ли нужно при решении уравнения выделять три этапа? Каким еще способом можно выполнить проверку?

Ответы на эти вопросы мы получим на следующем уроке.