Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Ребра многогранника - это стороны многоугольников. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Вершины многогранника - это вершины многоугольника. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.
Правильные многогранники Если грани многогранника являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, то выпуклый многогранник называется правильным. Если грани многогранника являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, то выпуклый многогранник называется правильным.
Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани. Октаэдр - это многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани. Правильная форма алмаза – октаэдр
Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, имеющими общую сторону - ребро многогранника - являются также и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образуют грани, имеющие общую вершину.
Среди многогранников различают призмы и пирамиды.
Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.
Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.
Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".
Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).
Призму называют правильной , если она прямая, а ее основания - правильные многоугольники.
Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.
Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.
Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диагонали.
Доказано, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Пирамида - это многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина этих треугольников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вершины, - боковыми ребрами пирамиды.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пирамиды.
Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.
Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.
Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетраэдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную треугольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треугольник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может отличаться от длины стороны треугольника, который является основанием призмы).
Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить выпуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием выпуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.
Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогранник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его многоугольников.
Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приводим.
Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.
Доказано, что в выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)
Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпуклых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказалось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранника. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.
Выпуклый многогранник называют правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно доказать, что различных видов правильных многогранников существует не более пяти.
Действительно, если фан и многогранника - правильные треугольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.
Если в каждой вершине многофанника сходится три правильных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в переводе с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).
Если в каждой вершине многогранника сходится четыре правильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.
Если в каждой вершине многогранника сходится пято правильных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников.
Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).
Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.
Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.
В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом пространстве существует ровно пять различных видов правильных многогранников’.
Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку
(точнее развертку его поверхности).
Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.
Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирамиды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра равны между собой.
Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого многогранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.
Вообще, развертку многогранника можно получить путем разрезания его поверхности не только по ребрам. Пример такой развертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.
Тела вращения
Телом вращения называют тело, полученное в результате вращения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.
Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сторона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.
Цилиндр, который получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круговым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плоскостям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.
Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если ее разрезать по образующей, является прямоугольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине окружности основания.
Конус - это тело, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, полученный в результате вращения прямоугольного треугольника SOA с прямым углом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.
Конус, который получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называют прямым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.
Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является круговой сектор с радиусом, равным длине образующей.
При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник.
Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, полученный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.
Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плоскость нельзя.
Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничивающая, - большой окружностью.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ
В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изображение пространственных фигур. Для этого используются специальные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.
Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую прямой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плоскость а.
Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекцией X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.
Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.
Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соответствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плоскость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.
Проекцией фигуры F называют множество F‘ проекцией всех се точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке X фигуры F "ее параллельную проекцию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).
Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.
Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.
Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:
1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;
2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;
3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.
Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.
При изображении геометрических тел на плоскости необходимо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непараллельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается произвольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
И еще одно требование необходимо соблюдать при изображении пространственных тел на плоскости - способствовать созданию верного представления о них.
Изобразим, например, наклонную призму, основаниями которой являются квадраты.
Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные прямые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D"
- параллелограмм, равный параллелограмму АВСD
и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются равные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.
Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.
Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображением правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным параллелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.
Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.
Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят правильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображающий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.
Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием которой является правильный шестиугольник.
Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобразится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным отрезком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".
Таким образом, последовательность построения основания шестиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):
§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";
§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);
§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".
Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикальный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединяют точку S со всеми вершинами основания.
При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим прямую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полюсы N и S.
Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эллипс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.
Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости прямой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).
Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс - основание, затем находят центр основания - точку О
и перпендикулярно проводят отрезок OS,
который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС
и SD
этих прямых от точки S до точек касания С и D.
Заметим, что отрезок СD
не совпадает с диаметром основания конуса.
1 вариант
1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:
1. Четырехугольник 2. Многоугольник 3. Многогранник 4. Шестиугольник
2. К многогранникам относятся:
1. Параллелепипед 2. Призма 3. Пирамида 4. Все ответы верны
3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:
1. Диагональю 2. Ребром 3. Гранью 4. Осью
4. У призмы боковые ребра:
1. Равны 2. Симметричны 3. Параллельны и равны 4. Параллельны
5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:
1. Противолежащими 2. Противоположными 3. Симметричными 4. Равными
6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:
1. Медианой 2. Осью 3. Диагональю 4. Высотой
7. Точки, не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:
1. Вершинами пирамиды 2. Боковыми ребрами 3. Линейным размером
4. Вершинами грани
8. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:
1. Медианой 2. Апофемой 3. Перпендикуляром 4. Биссектрисой
9. У куба все грани:
1. Прямоугольники 2. Квадраты 3. Трапеции 4. Ромбы
10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:
1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой
11. У цилиндра образующие:
1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. Параллельны и равны
12. Основания цилиндра лежат в:
1. Одной плоскости 2. Равных плоскостях 3. Параллельных плоскостях 4. Разных плоскостях
13. Поверхность конуса состоит из:
1. Образующих 2. Граней и ребер 3. Основания и ребра 4. Основания и боковой поверхности
14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:
1. Радиусом 2. Центром 3. Осью 4. Диаметром
15. Всякое сечение шара плоскостью есть:
1. Окружность 2. Круг 3. Сфера 4. Полукруг
16. Сечение шара диаметральной плоскостью называется:
1. Большим кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Окружностью
17. Круг конуса называется:
1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием
18. Основания призмы:
1. Параллельны 2. Равны 3. Перпендикулярны 4. Не равны
19. Площадью боковой поверхности призмы называется:
1. Сумма площадей боковых многоугольников
2. Сумма площадей боковых ребер
3. Сумма площадей боковых граней
4. Сумма площадей оснований
20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:
1. Центром 2. Центром симметрии 3. Линейным размером 4. Точкой сечения
21. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.
1. 4,2 см. 2. 10 см. 3. 5 см.
0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?
1. 7 см. 2. 14 см. 3. 3,5 см.
23. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна образующая конуса?
1. 5 см 2. 4 см 3. 10 см
МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
2 вариант
1. Вершины многогранника обозначаются:
1. а, в, с, d ... 2. А, В, С, D ... 3. ab , cd , ac , ad ... 4. АВ, СВ, А D , СD ...
2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:
1. Пирамидой 2. Призмой 3. Цилиндром 4. Параллелепипедом
3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:
1. Наклонной 2. Правильной 3. Прямой 4. Выпуклой
4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:
1. Правильной призмой 2. Параллелепипедом 3. Правильным многоугольником
4. Пирамидой
5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:
1. Конусом 2. Пирамидой 3. Призмой 4. Шаром
6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:
1. Гранями 2. Сторонами 3. Боковыми ребрами 4. Диагоналями
7. Треугольная пирамида называется:
1. Правильной пирамидой 2. Тетраэдром 3. Треугольной пирамидой 4. Наклонной пирамидой
8. К правильным многогранникам не относится:
1. Куб 2. Тетраэдр 3. Икосаэдр 4. Пирамида
9. Высота пирамиды является:
1. Осью 2. Медианой 3. Перпендикуляром 4. Апофемой
10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:
1. Гранями цилиндра 2. Образующими цилиндра 3. Высотами цилиндра
4. Перпендикулярами цилиндра
1. Осью цилиндра 2. Высотой цилиндра 3. Радиусом цилиндра
4. Ребром цилиндра
12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:
1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. Цилиндром
13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Полусферой
14. Граница шара называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. Окружностью
15. Линия пересечения двух сфер есть:
1. Круг 2. Полукруг 3. Окружность 4. Сечение
16. Сечение сферы называется:
1. Кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Малой окружностью
17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:
1. Треугольниками 2. Углами 3. Многоугольниками 4. Шестиугольниками
18. Боковая поверхность призмы состоит из…
1. Параллелограммов 2. Квадратов 3. Ромбов 4. Треугольников
19. Боковая поверхность прямой призмы равна:
1. Произведению периметра на длину грани призмы
2. Произведению длины грани призмы на основание
3. Произведению длины грани призмы на высоту
4. Произведению периметра основания на высоту призмы
20. К правильным многогранникам относятся:
21. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.
1. 15 см; 2. 14 см; 3. 13 см.
22. Наибольший угол между образующими конуса 60 0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?
1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2,5 см.
23. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.
1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .
24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна образующая конуса?
1. 10 см; 2. 4 см; 3. 6 см.
Изучая многоугольники, говорят о плоском многоугольнике, понимая под ним сам многоугольник и его внутреннюю область.
То же самое происходит и в стереометрии. По аналогии с понятием плоского многоугольника вводится понятие тела и его поверхности.
Точка геометрической фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий этой фигуре. Фигура называется областью, если все
ее точки внутренние и если любые две ее точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре.
Точка пространства называется граничной точкой данной фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Граничные точки области образуют границу области.
Телом называется конечная область вместе с ее границей. Граница тела называется поверхностью тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения.
48. Многогранные углы. Многогранники.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.
На рисунке 142 изображен двугранный угол с ребром а и гранями
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Если через точку А ребра а двугранного угла провести плоскость у, перпендикулярную этому ребру, то она пересечет плоскости а и 0 по полупрямым линейный угол данного двугранного угла. Градусная мера этого линейного угла является градусной мерой двугранного угла. Мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
Трехгранным углом называется фигура, составленная из трех плоских углов Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла как фигуры, составленной из плоских углов Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла.
Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 145).
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности (рис. 145, а, б). Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.
49. Призма. Параллелепипед. Куб.
Призмой называется многогранник» который состоит из двух плоских многоугольников, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков» соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы (рис. 146).
Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то
у призмы основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.
На рисунке 147, а изображена четырехугольная прнзма Плоские многоугольники ABCD и совмещаются соответствующим параллельным переносом и являются основаниями призмы, а отрезки АА являются боковыми ребрами призмы. Основания призмы равны (параллельный перенос есть движение и переводит фигуру в равную ей фигуру, п. 79). Боковые ребра параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие - соседними боковыми ребрами призмы.
На рисунке 147, с боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов Полная поверхность состоит из оснований и указанных выше параллелограммов.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Диагональным сечением призмы называется сечение ее плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
На рисунке 147, а изображена призма ее высота, одна из ее диагоналей. Сечение является одним из диагональных сечений этой призмы.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае прнзма называется
наклонной. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.
На рисунке 147, а изображена наклонная призма, а на рисунке 147, б - прямая, здесь ребро перпендикулярно основаниям призмы. На рисунке 148 изображены правильные призмы, у них основаниями являются соответственно правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.
Бели основания призмы - параллелограммы, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. На рисунке 147, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 147, б - прямой.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. На рисунке 147, а грани противолежащие.
Можно доказать некоторые свойства параллелепипеда.
У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.
Для прямоугольного параллелепипеда верна такая теорема:
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.
Например, в кубе с ребром а диагонали равны:
50. Пирамида.
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (рис. 150). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. На рисунке 150, а изображена пирамида SABCD. Четырехугольник ABCD - основание пирамиды, точка S - вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD - ребра пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рисунке 150, a SO - высота пирамиды.
Пирамида называется -угольной, если ее основанием является
Угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
На рисунке 151, а изображена треугольная пирамида, или тетраэдр, на рисунке 151, б - четырехугольная, на рисунке 151, в - шестиугольная.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. На рисунке 151 изображены правильные пирамиды. У правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
По Т.3.4 плоскость а, параллельная плоскости 0 основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть пирамиды представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях называются основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани - трапеции. На рисунке 152 изображена усеченная пирамида
51. Правильные многогранники.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 154): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Про правильный тетраэдр и куб сказано раньше (п. 49, 50). В каждой вершине правильного тетраэдра и куба сходятся три ребра.
Грани октаэдра - правильные треугольники. В каждой его вершине сходятся по четыре ребра.
Грани додекаэдра - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходятся по три ребра.
Грани икосаэдра - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.
